Matemática

Las ciencias se dividen entre formales, naturales y sociales. Las formales incluyen a la matematica, la logica y una porcion de la computacion que basicamente es matematica. El resto ya lo conocemos, creo.

Dejo el omnipresente link a wikipedia: 

Descripción y clasificación de las ciencias

Yo siempre entendí la matemática como un lenguaje. Pero es algo más de semántica que otra cosa. 

Como menciona 1nfest, las matematicas estarian dentro de las ciencias formales, ya que su campo de estudio no tiene alcance en los hechos. La fundamentacion axiomatica no tiene que ser vista como un conjunto de "verdades indemostrables", como a veces se enseña, sino como un conjunto de proposiciones reducido a la menor cantidad posible (hay variantes), tal que permita demostrar lo que uno busca (o algo nuevo). Sin tener axiomas no se puede demostrar nada en las ciencias formales.

Respondiendo a tu pregunta, las matematicas se consideran una ciencia porque hay una metodologia de investigacion cientifica. Si bien dentro del "universo de la logica", todas las proposiciones de la matematica que se demuestran son verdaderas a priori, la investigacion se realiza sobre un cuerpo de conocimiento limitado. Si alguien "descubre" que un teorema es verdadero (como cuando Fermat enuncio el Ultimo Teorema de Fermat), eso no pasa inmediatamente al cuerpo de conocimineto de las matematicas. Esa proposicion se considera inicialmente como una conjetura (hipotesis) y se intenta refutar (busqueda de contraejemplo) o verificar (demostracion). Cuando se considera que hay una demostracion, se la presenta por algun medio de difusion academica para ser sometida a la revision de pares. Eso es esencial para las matematicas, ya que hay, como en otras ciencias, un sesgo por parte del investigador. Recien luego de eso, uno podria incorporar ese teorema al cuerpo de conocimiento de las matematicas. Quizas Fermat encontro una prueba del Ultimo Teorema de Fermat, pero al no haber sido publicada, esa prueba no vale nada, a diferencia de la de Wiles (1995), quien logro demostrarlo luego de una importante revision de pares y del trabajo que muchos habian desarrollado previamente a el.

En cuanto a los axiomas, repito, son necesarios para demostrar cualquier cosa dentro de las matematicas. Pero eso no quiere decir que siempre se recurra a ellos para elaborar demostraciones. Uno generalmente se basa en Teoremas, Proposiciones, Lemas, etc. para demostrar. Gauss o Euler desarrollaron una gran investigacion por mas que les faltara la fundamentacion de las matematicas. Recien al final del siglo XIX se pudo empezar a formalizar todo.

Por otro lado, no toda investigacion en las matematicas es solo ciencia. Hay tambien parte que tiende a ser tecnica (estadisticas, metodos numericos, criptografia, optimizacion, etc.).

Lo que tiene de bueno la matemática es que sus verdades son verdades a todo culo. 1 + 1 = 2 siempre y sin importar nada (dentro de un conjunto de axiomas particulares, claro está). No está el ruido de las ciencias experimentales que tiñe todo de un velo de margen de error.

Claro que también están los que dicen que la matemática es a la física como la masturbación al sexo.. en fin.  

Hace un tiempo estuve explorando las distintas posturas en filosofía de las matemáticas. Hay muchos puntos de vista, y varias controversias entre posturas opuestas. Para el que le interese el tema, aquí hay una revisión:

http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/

Los Axiomas en la matemática son como "hipótesis", o sea "puntos de partida" de una teoría.

A partir de ciertos "supuestos iniciales" se deducen toda una serie de consecuencias (teoremas).

Los matemáticos ponen a prueba distintos axiomas similares o "equivalentes", poniendo y sacando unos y otros del mismo modo que un inventor pone y saca piezas hasta que le queda un artefacto "que funciona bien".

La matemática aplicada es una interpretación de la realidad a partir de ciertos axiomas.

Esto parece algo "astrológico", porque depende de una metáfora que es, filosóficamente, muy dudosa. Te paso un ejemplo.

Cuando alguien estudia la población de un par de especies en un ecosistema, pone un par de variables x, y, digamos, que indican la cantidad de individuos de cada especie.

Por la mera experiencia y conocimiento empírico del comportamiento animal, se hacen algunos supuestos básicos sobre la rapidez de crecimiento y decrecimiento de esas especies. Estos "supuestos" serían como "axiomas ecológicos".

Se escriben esos supuestos como ecuaciones (en este caso un sistema de ecuaciones diferenciales), en los que se pone en evidencia la dependencia respecto la variable tiempo t.

Ahora x = x(t), y = y(t) son cantidades que dependen del tiempo. Por lo tanto se hace una "predicción".

Se verifica si esa predicción corresponde más o menos bien con los datos de las muestras empíricas, y en caso contrario se reflexiona sobre nuevas hipótesis que conviene agregar como "axiomas".

Se pueden también modificar los axiomas originales.

Esto es parecido a lo que hacen los astrólogos, ya que modifican sus pronósticos "ad hoc".

La diferencia está en que estas hipótesis son parte de una investigación científica, en la que se actúa por prueba y error hasta lograr un ajuste.

Una vez establecido el sistema axiomático con mejor aproximación, o que ya satisface a los criterios empiristas del investigador, se dice que se ha establedico un "modelo matemático" para la situación de estudio, y se la puede usar con confianza en otras situaciones distintas.

Al aplicar el modelo a nuevas situaciones, seguramente se tendrán que hacer nuevos ajustes.

Pero el objetivo en todo esto no es tanto el de "predecir" lo que va a pasar en determinado momento (que de hecho, puede hacerse bastante bien una vez que el modelo está ajustado), sino obtener información cualitativa del sistema, y alcanzar una mayor comprensión de lo que está ocurriendo.

Es interesante descubrir cuáles son las hipótesis "centrales" que influyen en mayor proporción en un modelo determinado. A veces se descubre que sólo un par de supuestos básicos ya sirven para aproximar bien la situación, y no hace falta preocuparse por las millones de variables extra que hay en la naturaleza.

El modelo perfecto no existe justamente por todas estas variables.

Lo que es "sospechoso" es esta identificación entre una variable matemática x(t) con la "cantidad de individuos de una especie dada" en un ecosistema.

Esto es como una metáfora matemática, y es un arte.

En otros tiempos se podrían poner muchas objeciones filosóficas sobre esta forma de trabajo,

pero hoy en día es simplemente cosa de rutina.

En los libros de ecuaciones diferenciales para ingeniería se suele explicar esta manera de diseñar modelos de la realidad.

A partir de ahí uno entiende mejor cómo funciona el fechado de cadáveres o rocas antiguas, el crecimiento de las poblaciones o modelos migratorios, entre muchas otras opciones que ahora no recuerdo.

 

En cuanto a las posturas filosóficas, históricamente se tienen el logicismo, el formalismo, el intuicionismo, y si se quiere, el platonismo.

Hoy en día la matemática que se usa en las ciencias empíricas es el formalismo de Hilbert, ciertamente impregnado del logicismo de Russell.

No se suelen discutir esos fundamentos. Ni los matemáticos lo hacen.

Sólo los matemáticos especializados en lógica o fundamentos de la matemática se preocupan de otras posturas distintas a la de Hilbert.

Los Axiomas que se aceptan son los de la Lógica de Primer Orden, junto con los Axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos. Hay 3 teorías de conjuntos estándar. La que resulta más cómoda a los matemáticos es la de Morse-Kelley, que usa clases propias, igual que la de Newmman-Godel-Bernays. Pero la que es más "sencilla" de introducir quizá sea la de Zermelo-Fraenkel (que no usa "clases propias" sino sólo "conjuntos").

Sobre esas bases se edifican la aritmética, la geometría, y todas las herramientas del análisis y el álgebra que luego se usan en las aplicaciones prácticas de la ciencia.

Los Axiomas en la matemática son como "hipótesis", o sea "puntos de partida" de una teoría.

La matemática aplicada es una interpretación de la realidad a partir de ciertos axiomas.

Por la mera experiencia y conocimiento empírico del comportamiento animal, se hacen algunos supuestos básicos sobre la rapidez de crecimiento y decrecimiento de esas especies. Estos "supuestos" serían como "axiomas ecológicos".

No considero correcta la analogia entre axiomas e hipotesis, ya que las hipotesis se pretenden demostrar verdaderas (a traves de la experimentacion), mientras que los axiomas no. En un modelo matematico lo que hay son hipotesis (no axiomas), deducidas a partir de datos teoricos y/o empiricos, y parametros ajustables. Por ejemplo, si se quiere modelizar el cambio de temperatura en un cuerpo en relacion al tiempo, la hipotesis puede ser que la temperatura en funcion de la posicion y el tiempo esta determinada por la "ecuacion del calor", razonable ya que hay muchas pruebas de que asi suele variar la temperatura en un cuerpo; en base a los datos empiricos se instancian algunas variables (densidad, conductividad termica, capacidad calorifica, temperatura inicial, etc.); luego, se contrasta los datos predecidos por el modelo con los datos empiricos y se corrigen los parametros (si los hay) hasta que se aproxime lo suficiente a la realidad (si es que el modelo funciona y lo permite); sino, se mejora o descarta. Los axiomas no intervienen mas alla de lo necesario para formalizar la teoria en cuestion (en este caso: ecuaciones diferenciales parciales, analisis numerico, etc.) y son imperceptibles en la elaboracion de un modelo matematico.

Del "lado" matemático es todo lo mismo: Hipótesis = Axiomas = Postulados, etc.

Sólo hay dos tipos de enunciados lógico-matemáticos: los que se admiten "sin demostración" alguna, y los que "se admiten sólo tras haber sido demostrados".

Los que se toman sin demostración son puntos de partida de una teoría,

y los demás se obtienen por inferencia lógica a partir de aquellos puntos de partida, y reciben el nombre de Teoremas.

Hay otros nombres para decir lo mismo, pero la diferencia es de "presentación" no de "sustancia matemática", por decirlo así.

Teorema = Lema = Corolario = Afirmación = Proposición

Del "lado" de la aplicación de la matemática, como en el ejemplo de la biología, no existen los axiomas, sólo existen hipótesis, pero esas hipótesis no tienen el mismo significado que las hipótesis matemáticas.

Es una misma palabra usada en contextos técnicos distintos.

En el contexto biológico no se puede usar la palabra "axioma".

Cuando se pasa al modelo matemático, las hipótesis biológicas se traducen en "asunciones de partida" de una teoría matemática, y como tales, no llevan demostración, así que son "axiomas, postulados, hipótesis", o como quieras llamarles, es lo mismo.

El sentido de la palabra "hipótesis"  no es el mismo según el contexto en el que se lo mire.

En los teoremas matemáticos se tienen también "hipótesis", que son hechos que se toman como "supuestos", sin demostración, a partir de los cuales se deriva una "tesis" o "conclusión".

Cuando se define un "modelo matemático" o se desarrolla una teoría matemática cualquiera, los puntos de partida iniciales (los que no llevan demostración) son "hipótesis" que van implícitas en los enunciados de todos los teoremas.

Russell decía que los axiomas eran hipótesis que debían figurar en todos los teoremas de la teoría, o bien que es equivalente pensarlos así. Uno no repite las mismas hipótesis en cada enunciado, porque es pesado, inhumano, pero desde el punto de vista técnico la función de un Axioma es esa: ser una hipótesis presente en cada teorema de una teoría.

Esta visión del trabajo matemático proviene del Logicismo de Russell, como es natural.

Cuando Hilbert funda el Formalismo, lo que hace es intentar que "toda la matemática" se pueda "edificar" a partir de una pequeña, concisa y finita lista de Axiomas, que sean aceptables para la gran mayoría de la comunidad matemática de su época (año 1900 y posterior).

Esto quiere decir que Hilbert quería construir un lenguaje que fuera útil a todas las matemáticas que existían en su tiempo, y que ninguna filosofía de aquel entonces quedara excluída.

Luego la lógica y la teoría de conjuntos así fundada serviría de lenguaje a toda la matemática y las ciencias exactas.

Pero eso no quiere decir que uno no pueda poner más axiomas.

Lo único que se exige a una teoría matemática es que su lista de Axiomas sea no-contradictoria.

(El mensaje era muy largo y lo recorté, sorry)

Como yo lo veo, hay una identificación entre dos cosas separadas: la hipótesis biológica y su contraparte matemática. El acto de hacer esa identificación como si fueran parte de una misma cosa no debe olvidarse, son contextos distintos.

Y los modelos son sólo matemática, porque la analogía nunca es perfecta.

Hipotesis y axiomas no son lo mismo. 

A fines practicos ambas son afirmaciones que se toman como ciertas para determinar si una formula es deducible mediante la aplicacion de reglas logicas. Ahora, en matematica hay una diferencia y es que las hipotesis son suceptibles de ser probadas apartir de los axiomas; sin embargo los axiomas son minimos y no son suceptibles de ser probados a partir de principios mas fundamentales.

Basicamente la hipotesis funciona como un ' y que pasa por este lado?' para seguir avanzando a pesar de la falta de demostracion de esa verdad. Ejemplo ultraconocido la hipotesis de Poincare que hace poco paso a su estatus de teorema (es decir, demostrable a partir de los axiomas).

Despues hay una leve diferencia entre conjetura e hipotesis, y tambien hay axiomas no-logicos que son importantes, pero masomenos funciona asi.

Sólo hay dos tipos de enunciados lógico-matemáticos: los que se admiten "sin demostración" alguna, y los que "se admiten sólo tras haber sido demostrados".

En realidad, sintacticamente tambien puede haber enunciados que no hayan sido demostrados y que no sean axiomas (e.g. las conjeturas) y semanticamente puede haber enunciados falsos (e.g. "pi es racional").

En los teoremas matemáticos se tienen también "hipótesis", que son hechos que se toman como "supuestos", sin demostración, a partir de los cuales se deriva una "tesis" o "conclusión".

Cuando se define un "modelo matemático" o se desarrolla una teoría matemática cualquiera, los puntos de partida iniciales (los que no llevan demostración) son "hipótesis" que van implícitas en los enunciados de todos los teoremas.

Yo creo que estas confundiendo lo que seria hablar de hipotesis en el contexto de la fundamentacion axiomatica (en el cual decir que los axiomas son hipotesis es solo una manera de verlo) y lo que serian hipotesis en el resto de las matematicas, como en el caso que mencionas. No es cierto que las hipotesis de un teorema sean proposciones que no se demuestran, ya que para la aplicacion del teorema se debe demostrar esas hipotesis (a diferencia de los axiomas que no se deberian poder demostrar).

Pero eso no quiere decir que uno no pueda poner más axiomas.

Lo único que se exige a una teoría matemática es que su lista de Axiomas sea no-contradictoria.

En la axiomatizacion no solo se busca que haya consistencia, sino tambien que no haya redundancia (axiomas equivalentes) y que se utilice lo minimo necesario, ya que son las herramientas de demostracion y no seria necesario incorporar un axioma que no se va a usar (como pasa en general con la hipotesis del continuo).

Los axiomas fuera de ZFC casi no se usan en el desarrollo general de las matematicas, a excepcion de casos muy tangentes. A lo que previamente se conocia como axiomas, como en la geometria euclidiana o la teoria de probabilidades, ahora son casos particulares de objetos mas generales que se pueden fundamentar nada mas que con ZFC (y el axioma de eleccion no siempre se usa y puede aparecer en versiones mas "debiles"). En tales casos, se demuestra que un determinado espacio vectorial es euclideo o se demuestra que un determinado espacio medible es un espacio de probabilidad. En eso se baso la fundamentacion axiomatica de las matematicas: en proponer lo minimo necesario para que todo lo que se habia desarrollado y estaba por desarrollarse tuviera el mismo origen reducido.

Desafortunadamente, a veces se emplea el termino "axiomas" para denominar a las propiedades que debe satisfacer un objeto para ser definido de alguna manera (espacio vectorial, espacio metrico, etc.). Son propiedades como cualquier otra que pueden ser demostradas. No hay que confundir eso con los axiomas en los que se sostienen las matematicas.

Acá huelo mucha Wikipedia y poco trabajo matemático.

Cuando Leandro dice: la lista de Axiomas tiene que ser "mínima", bue… todo el mundo dice eso.

Pero nadie es capaz de mostrar que una lista de Axiomas es justamente "mínima".

Si te tiran una lista de enunciados lógicos, ¿sos capaz de demostrar que "son no-redundantes"?

No conozco a nadie en el mundo capaz de demostrar que un sistema axiomático interesante, de los que se aceptan hoy en día, es "mínimo".

Tampoco es posible probar que ZFC y sus amigas están libres de contradicción.

Así que, según tu definición, ZFC no es un sistema axiomático, aunque en todos los libros figura con ese nombre.

Además, si alguna vez estudiás los axiomas de la geometría euclidiana, vas a ver que se pueden enunciar infinidad de sistemas axiomáticos distintos, y lo que en algunos sistemas figura como axioma, en otros es teorema, y al revés.

Así que, en definitiva, lo que se está haciendo es demostrar que un cierto "axioma" A implica una cierta conclusión B.

Pero luego B implica A, porque se trata de propiedades "intercambiables" que definen la misma teoría geométrica.

Además yo no estoy confundiendo nada. Como bien dije, es Russell el que impulsó este punto de vista de que los Axiomas son "hipótesis que se repiten en todos los teoremas de lat teoría"

Se puede hacer una teoría sin axioma alguno, y lo que alguien "quisiera" considerar como axiomas, simplemente se pueden repetir como hipótesis en todos los teoremas de la teoría, y lo que resulta es una teoría equivalente, es lo mismo.

Cuando hablaron de la "hipótesis" de Poincaré, no es una hipótesis, sino una Conjetura.

Decir que las hipótesis se pueden probar es algo ridículo. La hipótesis es un supuesto, y si ya lo supusiste, es cierto desde el punto de vista lógico. Las deducciones que hagas serán correctas.

Además, ¿cómo sabés vos la diferencia entre un enunciado lógico que es "susceptible de demostración" de uno que on lo es?

Admito que me "salteé" unos detalles. En vez de decir: los enunciados matemáticos son estos dos tipos…

debí decir: los enunciados matemáticos que se toman como ciertos son de dos tipos: axiomas y teoremas.

No hay manera de distinguir entre un Axioma y una hipótesis.

Durante siglos los geómetras creyeron que la "hipótesis" de las paralelas era demostrable.

Hasta que alguien demostró que "no era demostrable de los demás axiomas geométricos".

El carácter de Axioma es una "elección de cada investigador".

Cualquiera puede enunciar una lista de propiedades lógicas y decir que eso es un sistema axiomático.

Eso que decís de que los axiomas de "fundamentos" son distintos a otro tipo de supuestos de una teoría, es sólo un prejuicio sin sentido.

Decime vos, cuando se define una lógica de 1er orden, y cuando se empiezan a construir enunciados y teoremas, ¿en qué momento se define lo que es un axioma, una hipótesis, un supuesto, o una conjetura?

Esas son categorías subjetivas, que nada tienen que ver con la matemática misma.

Cuando te ponés a hacer a hacer la construcción de la matemática desde cero, mirando todas las cuentitas, ves que hay una lista infinita de enunciados posibles. fórmulas lógicas bien formadas.

De ellas, "se eligen algunas" y se las llama "axiomas".

Nadie es capaz de demostrar que son ¨"mínimos" ni "no-contradictorios"… (en realidad la lista de los axiomas lógicos de 1er orden se sabe que son no-contradictorios, lo que no se sabe es si al agreegar la lista de los axiomas de ZFC hay o no hay contradicción posible).

Hay teorías axiomáticas enunciadas en 1er orden, que no usan la teoría de conjuntos, y abarcan todo el abanico de posibilidades de la matemática: los números reales, la geometría, diversas álgebras.

Se pueden estudiar estos sistemas matemáticos sin apelar a la teoría de conjuntos.

Se listan axiomas aritméticos desde la "base", sin conjuntos, igual que se hace con ZFC.

Ahí va una muestra en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic

Ahí se habla de la aritmética de Presburger, que se enuncia "pelada" en 1er orden, sin conjuntos.

Una vez construida la "sintaxis" se puede buscar un "modelo" en la teoría ZFC, por ejemplo.

Me parece que hay muchos prejuicios sobre lo que está "permitido" ser un Axioma y lo que no.

Hay que actualizarse.

 

Y cuando me pongo a pensar qué pasa al hacer los teoremas de una téoría, lo único que veo es que hay un "método de inferencia" que "alguien" estipula.

Es una regla que transforma unas sentencias lógicas en otras.

Si una lista de Axiomas A1, A2, A3, … etc. se estipula de entrada, entonces un cierto enunciado P puede inferirse con la regla de ingerencia dada.

Pero si en vez de aceptar esos axiomas, no se acepta nada, y se deja la lista de axiomas en blanco, entonces el enunciado que dice (A1 y A2 y A3 y … IMPLICA P)

es algo demostrable a partir de la regla de inferencia.

¿Qué diferencia hay entonces entre haber puesto de entrada una lista de "axiomas" y no haberla puesto, si los teoremas se demuestran de igual modo?

Es todo lo mismo, y "ENDIOSAR" los axiomas es un error que muchos cometen, incluso matemáticos reputados.

Es todo muy relativo.

Lo único cierto es que "unos ciertos enunciados pueden demostrarse lógicamente a partir de ciertos otros enunciados".

No hay enunciados especiales, no hay motivo para "distinguir" entre hipótesis, axiomas, postulados, principios, o como se los quiera llamar.

Parto de una lista de enunciados L y llego a otra lista de enunciados M.

Eso es todo lo que hay.

 

Acá huelo mucha Wikipedia y poco trabajo matemático.

Antes de hacer acusaciones gratuitas sobre los demas, te recomiendo estes un poco informado. Yo ya llevo casi 3 años cursados de la Licenciatura en Ciencias Matematicas y lei material sobre logica y fundamentaciones de la matematica. No se cual es tu criterio para decir "poco trabajo matemático". Espero a tener un titulo de posgrado para seguir?

Cuando Leandro dice: la lista de Axiomas tiene que ser "mínima", bue… todo el mundo dice eso.

Pero nadie es capaz de mostrar que una lista de Axiomas es justamente "mínima".

No hay que entender minimo como un estado ideal, sino como lo minimo entre las propuestas existentes. Eso se puede demostrar. Si a alguien se le ocurre una mejor propuesta, es bienvenido a hacerla. Si te interesa conocer mas, el reduccionismo axiomatico esta explicado en Principia Mathematica, en uno de los primeros capitulos (no me acuerdo ahora cual).

Si te tiran una lista de enunciados lógicos, ¿sos capaz de demostrar que "son no-redundantes"?

Por supuesto que se puede demostrar eso. Eso es lo que se llaman axiomas "independientes". Por ejemplo, hay demostraciones sobre la independencia de ZFC respecto a la "hipotesis del continuo".

No conozco a nadie en el mundo capaz de demostrar que un sistema axiomático interesante, de los que se aceptan hoy en día, es "mínimo".

Idealmente no. Pragmaticamente si, como mencione antes.

Tampoco es posible probar que ZFC y sus amigas están libres de contradicción.

Como no se encontro ninguna prueba de su inconsistencia, hasta ahora no hubo ningun problema relacionado a esta problematica filosofica.

Así que, según tu definición, ZFC no es un sistema axiomático, aunque en todos los libros figura con ese nombre.

Yo dije que "se busca que haya consistencia". Hasta ahora, ZFC parece ser consistente, asi que es acorde con el criterio.

Además, si alguna vez estudiás los axiomas de la geometría euclidiana, vas a ver que se pueden enunciar infinidad de sistemas axiomáticos distintos, y lo que en algunos sistemas figura como axioma, en otros es teorema, y al revés.

Así que, en definitiva, lo que se está haciendo es demostrar que un cierto "axioma" A implica una cierta conclusión B.

Pero luego B implica A, porque se trata de propiedades "intercambiables" que definen la misma teoría geométrica.

Nuevamente, si vas a usar el termino "axiomas" en este caso, hay que distinguirlo del contexto en el que se usa cuando se habla de axiomatizacion de la matematica. Con tener la teoria de conjuntos alcanza para desarrollar la geometria euclidiana y ZFC alcanza para fundamentar la teoria de conjuntos lo necesario.

Además yo no estoy confundiendo nada. Como bien dije, es Russell el que impulsó este punto de vista de que los Axiomas son "hipótesis que se repiten en todos los teoremas de lat teoría"

No estoy negandolo. Pero eso no implica que sea correcto decir que las hipotesis son axiomas, por lo que mencione previamente.

Se puede hacer una teoría sin axioma alguno, y lo que alguien "quisiera" considerar como axiomas, simplemente se pueden repetir como hipótesis en todos los teoremas de la teoría, y lo que resulta es una teoría equivalente, es lo mismo.

La axiomatizacion busca evitar esto, manteniendo el formalismo, ya que repetir todo haria inviable la demostracion de cualquier teorema con algo de complejidad.

Cuando hablaron de la "hipótesis" de Poincaré, no es una hipótesis, sino una Conjetura.

En realidad, ahora es un teorema.

Decir que las hipótesis se pueden probar es algo ridículo.

Falso (ver Hipotesis de Riemann).

La hipótesis es un supuesto, y si ya lo supusiste, es cierto desde el punto de vista lógico. Las deducciones que hagas serán correctas.

Las hipotesis no tienen por que ser a priori verdaderas para lograr deducciones verdaderas. A ver, un contraejemplo:

"Se hallaron pruebas de la existencia de Pie Grande" (hipotesis falsa)

"Si se hallaran pruebas de la existencia de Pie Grande, entonces muchos criptozoologos estarian celebrando" (deduccion verdadera, no?)

Además, ¿cómo sabés vos la diferencia entre un enunciado lógico que es "susceptible de demostración" de uno que on lo es?

Se puede demostar una proposicion para demostrar (metalogicamente) que es demostrable o se puede demostrar (metalogicamente) que si la proposicion se pudiera demostrar le seguirian contradicciones. El caso que mencione de la demostracion de la independencia de ZFC y la hipotesis del continuo es un lindo ejemplo de ello.

Admito que me "salteé" unos detalles. En vez de decir: los enunciados matemáticos son estos dos tipos…

debí decir: los enunciados matemáticos que se toman como ciertos son de dos tipos: axiomas y teoremas.

Ok.

No hay manera de distinguir entre un Axioma y una hipótesis.

Si, distinguiendo los casos en los que se usan. Hablar de axiomas relacionado a la axiomatizacion no es lo mismo que hablar de hipotesis de un teorema.

Durante siglos los geómetras creyeron que la "hipótesis" de las paralelas era demostrable.

Hasta que alguien demostró que "no era demostrable de los demás axiomas geométricos".

Ahora no se estudia mas asi. Se define primero los espacios vectoriales y un subconjunto de ellos vendria a ser el de los espacios eulideos.

El carácter de Axioma es una "elección de cada investigador".

Asi como en otras disciplinas cientificas, el conocimiento se debe compartir con el resto de la comunidad. Si las bases (axiomas) son diferentes, se corre el riesgo de estar hablando sobre cosas distintas. Como la mayoria de la investigacion no ocurre sobre los aspectos particulares de la fundamentacion de la matematica o de la teoria de conjuntos, es normal suponer que la base es ZFC y todo lo que le sigue hasta llegar a lo que le interesa.

Cualquiera puede enunciar una lista de propiedades lógicas y decir que eso es un sistema axiomático.

Por supuesto que cualquiera tiene esa libertad, asi como yo tengo la libertad de llamar "ranas" a los "osos". Lo unico es que si no lo hace adecuadamente no va a poder lograr mucho.

Eso que decís de que los axiomas de "fundamentos" son distintos a otro tipo de supuestos de una teoría, es sólo un prejuicio sin sentido.

No es un "prejuicio sin sentido". Es algo que se puede encontrar en muchos libros de logica moderna y fundamental para entenderla.

Decime vos, cuando se define una lógica de 1er orden, y cuando se empiezan a construir enunciados y teoremas, ¿en qué momento se define lo que es un axioma, una hipótesis, un supuesto, o una conjetura?

Esas son categorías subjetivas, que nada tienen que ver con la matemática misma.

Son categorias de proposiciones. Los "axiomas" se deben definir primero o no se puede demostrar nada (con modus ponens, no?). Luego, las proposiciones que se demuestran son "proposciones", "teoremas", "lemas" o "corolarios". Las proposciones que no se demuestran verdaderas ni falsas son "hipotesis" o "conjeturas". No es subjetiva la diferencia entre un axioma, teorema o conjetura. Pero entre un teorema y un lema, puede ser, eso es a gusto personal.

Cuando te ponés a hacer a hacer la construcción de la matemática desde cero, mirando todas las cuentitas, ves que hay una lista infinita de enunciados posibles. fórmulas lógicas bien formadas.

De ellas, "se eligen algunas" y se las llama "axiomas".

Nadie es capaz de demostrar que son ¨"mínimos" ni "no-contradictorios"… (en realidad la lista de los axiomas lógicos de 1er orden se sabe que son no-contradictorios, lo que no se sabe es si al agreegar la lista de los axiomas de ZFC hay o no hay contradicción posible).

Ya lo aclare mas arriba. Y fijate que el ejemplo que das de la consistencia de la logica de primer orden contradice a tu afirmacion previa.

Hay teorías axiomáticas enunciadas en 1er orden, que no usan la teoría de conjuntos, y abarcan todo el abanico de posibilidades de la matemática: los números reales, la geometría, diversas álgebras.

Se pueden estudiar estos sistemas matemáticos sin apelar a la teoría de conjuntos.

Se listan axiomas aritméticos desde la "base", sin conjuntos, igual que se hace con ZFC.

Capaz hay mejores alternativas a ZFC. Mientras tanto, lo importante es que se pueda utilizar algun sistema axiomatico para las areas que actualmente se estudian.

Ahí va una muestra en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic

 

Ahí se habla de la aritmética de Presburger, que se enuncia "pelada" en 1er orden, sin conjuntos.

Una vez construida la "sintaxis" se puede buscar un "modelo" en la teoría ZFC, por ejemplo.

Fijate que en esta aritmetica se pierden cosas importantisimas como la definicion de los numeros primos. Los investigadores en teoria de numeros claramente no la podrian usar.

Me parece que hay muchos prejuicios sobre lo que está "permitido" ser un Axioma y lo que no.

 

Hay que actualizarse.

No entiendo de donde sacas lo de "prejuicios". Son convenciones a las que se llegan para solucionar problemas encontrados durante mucho tiempo. Eso es lo que se realiza actualmente, y no la idea de que la geometria es algo independiente al resto de las matematicas y entonces debe tener sus propios axiomas.