Acá huelo mucha Wikipedia y poco trabajo matemático.

Antes de hacer acusaciones gratuitas sobre los demas, te recomiendo estes un poco informado. Yo ya llevo casi 3 años cursados de la Licenciatura en Ciencias Matematicas y lei material sobre logica y fundamentaciones de la matematica. No se cual es tu criterio para decir "poco trabajo matemático". Espero a tener un titulo de posgrado para seguir?

Cuando Leandro dice: la lista de Axiomas tiene que ser "mínima", bue… todo el mundo dice eso.

Pero nadie es capaz de mostrar que una lista de Axiomas es justamente "mínima".

No hay que entender minimo como un estado ideal, sino como lo minimo entre las propuestas existentes. Eso se puede demostrar. Si a alguien se le ocurre una mejor propuesta, es bienvenido a hacerla. Si te interesa conocer mas, el reduccionismo axiomatico esta explicado en Principia Mathematica, en uno de los primeros capitulos (no me acuerdo ahora cual).

Si te tiran una lista de enunciados lógicos, ¿sos capaz de demostrar que "son no-redundantes"?

Por supuesto que se puede demostrar eso. Eso es lo que se llaman axiomas "independientes". Por ejemplo, hay demostraciones sobre la independencia de ZFC respecto a la "hipotesis del continuo".

No conozco a nadie en el mundo capaz de demostrar que un sistema axiomático interesante, de los que se aceptan hoy en día, es "mínimo".

Idealmente no. Pragmaticamente si, como mencione antes.

Tampoco es posible probar que ZFC y sus amigas están libres de contradicción.

Como no se encontro ninguna prueba de su inconsistencia, hasta ahora no hubo ningun problema relacionado a esta problematica filosofica.

Así que, según tu definición, ZFC no es un sistema axiomático, aunque en todos los libros figura con ese nombre.

Yo dije que "se busca que haya consistencia". Hasta ahora, ZFC parece ser consistente, asi que es acorde con el criterio.

Además, si alguna vez estudiás los axiomas de la geometría euclidiana, vas a ver que se pueden enunciar infinidad de sistemas axiomáticos distintos, y lo que en algunos sistemas figura como axioma, en otros es teorema, y al revés.

Así que, en definitiva, lo que se está haciendo es demostrar que un cierto "axioma" A implica una cierta conclusión B.

Pero luego B implica A, porque se trata de propiedades "intercambiables" que definen la misma teoría geométrica.

Nuevamente, si vas a usar el termino "axiomas" en este caso, hay que distinguirlo del contexto en el que se usa cuando se habla de axiomatizacion de la matematica. Con tener la teoria de conjuntos alcanza para desarrollar la geometria euclidiana y ZFC alcanza para fundamentar la teoria de conjuntos lo necesario.

Además yo no estoy confundiendo nada. Como bien dije, es Russell el que impulsó este punto de vista de que los Axiomas son "hipótesis que se repiten en todos los teoremas de lat teoría"

No estoy negandolo. Pero eso no implica que sea correcto decir que las hipotesis son axiomas, por lo que mencione previamente.

Se puede hacer una teoría sin axioma alguno, y lo que alguien "quisiera" considerar como axiomas, simplemente se pueden repetir como hipótesis en todos los teoremas de la teoría, y lo que resulta es una teoría equivalente, es lo mismo.

La axiomatizacion busca evitar esto, manteniendo el formalismo, ya que repetir todo haria inviable la demostracion de cualquier teorema con algo de complejidad.

Cuando hablaron de la "hipótesis" de Poincaré, no es una hipótesis, sino una Conjetura.

En realidad, ahora es un teorema.

Decir que las hipótesis se pueden probar es algo ridículo.

Falso (ver Hipotesis de Riemann).

La hipótesis es un supuesto, y si ya lo supusiste, es cierto desde el punto de vista lógico. Las deducciones que hagas serán correctas.

Las hipotesis no tienen por que ser a priori verdaderas para lograr deducciones verdaderas. A ver, un contraejemplo:

"Se hallaron pruebas de la existencia de Pie Grande" (hipotesis falsa)

"Si se hallaran pruebas de la existencia de Pie Grande, entonces muchos criptozoologos estarian celebrando" (deduccion verdadera, no?)

Además, ¿cómo sabés vos la diferencia entre un enunciado lógico que es "susceptible de demostración" de uno que on lo es?

Se puede demostar una proposicion para demostrar (metalogicamente) que es demostrable o se puede demostrar (metalogicamente) que si la proposicion se pudiera demostrar le seguirian contradicciones. El caso que mencione de la demostracion de la independencia de ZFC y la hipotesis del continuo es un lindo ejemplo de ello.

Admito que me "salteé" unos detalles. En vez de decir: los enunciados matemáticos son estos dos tipos…

debí decir: los enunciados matemáticos que se toman como ciertos son de dos tipos: axiomas y teoremas.

Ok.

No hay manera de distinguir entre un Axioma y una hipótesis.

Si, distinguiendo los casos en los que se usan. Hablar de axiomas relacionado a la axiomatizacion no es lo mismo que hablar de hipotesis de un teorema.

Durante siglos los geómetras creyeron que la "hipótesis" de las paralelas era demostrable.

Hasta que alguien demostró que "no era demostrable de los demás axiomas geométricos".

Ahora no se estudia mas asi. Se define primero los espacios vectoriales y un subconjunto de ellos vendria a ser el de los espacios eulideos.

El carácter de Axioma es una "elección de cada investigador".

Asi como en otras disciplinas cientificas, el conocimiento se debe compartir con el resto de la comunidad. Si las bases (axiomas) son diferentes, se corre el riesgo de estar hablando sobre cosas distintas. Como la mayoria de la investigacion no ocurre sobre los aspectos particulares de la fundamentacion de la matematica o de la teoria de conjuntos, es normal suponer que la base es ZFC y todo lo que le sigue hasta llegar a lo que le interesa.

Cualquiera puede enunciar una lista de propiedades lógicas y decir que eso es un sistema axiomático.

Por supuesto que cualquiera tiene esa libertad, asi como yo tengo la libertad de llamar "ranas" a los "osos". Lo unico es que si no lo hace adecuadamente no va a poder lograr mucho.

Eso que decís de que los axiomas de "fundamentos" son distintos a otro tipo de supuestos de una teoría, es sólo un prejuicio sin sentido.

No es un "prejuicio sin sentido". Es algo que se puede encontrar en muchos libros de logica moderna y fundamental para entenderla.

Decime vos, cuando se define una lógica de 1er orden, y cuando se empiezan a construir enunciados y teoremas, ¿en qué momento se define lo que es un axioma, una hipótesis, un supuesto, o una conjetura?

Esas son categorías subjetivas, que nada tienen que ver con la matemática misma.

Son categorias de proposiciones. Los "axiomas" se deben definir primero o no se puede demostrar nada (con modus ponens, no?). Luego, las proposiciones que se demuestran son "proposciones", "teoremas", "lemas" o "corolarios". Las proposciones que no se demuestran verdaderas ni falsas son "hipotesis" o "conjeturas". No es subjetiva la diferencia entre un axioma, teorema o conjetura. Pero entre un teorema y un lema, puede ser, eso es a gusto personal.

Cuando te ponés a hacer a hacer la construcción de la matemática desde cero, mirando todas las cuentitas, ves que hay una lista infinita de enunciados posibles. fórmulas lógicas bien formadas.

De ellas, "se eligen algunas" y se las llama "axiomas".

Nadie es capaz de demostrar que son ¨"mínimos" ni "no-contradictorios"… (en realidad la lista de los axiomas lógicos de 1er orden se sabe que son no-contradictorios, lo que no se sabe es si al agreegar la lista de los axiomas de ZFC hay o no hay contradicción posible).

Ya lo aclare mas arriba. Y fijate que el ejemplo que das de la consistencia de la logica de primer orden contradice a tu afirmacion previa.

Hay teorías axiomáticas enunciadas en 1er orden, que no usan la teoría de conjuntos, y abarcan todo el abanico de posibilidades de la matemática: los números reales, la geometría, diversas álgebras.

Se pueden estudiar estos sistemas matemáticos sin apelar a la teoría de conjuntos.

Se listan axiomas aritméticos desde la "base", sin conjuntos, igual que se hace con ZFC.

Capaz hay mejores alternativas a ZFC. Mientras tanto, lo importante es que se pueda utilizar algun sistema axiomatico para las areas que actualmente se estudian.

Ahí va una muestra en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic

 

Ahí se habla de la aritmética de Presburger, que se enuncia "pelada" en 1er orden, sin conjuntos.

Una vez construida la "sintaxis" se puede buscar un "modelo" en la teoría ZFC, por ejemplo.

Fijate que en esta aritmetica se pierden cosas importantisimas como la definicion de los numeros primos. Los investigadores en teoria de numeros claramente no la podrian usar.

Me parece que hay muchos prejuicios sobre lo que está "permitido" ser un Axioma y lo que no.

 

Hay que actualizarse.

No entiendo de donde sacas lo de "prejuicios". Son convenciones a las que se llegan para solucionar problemas encontrados durante mucho tiempo. Eso es lo que se realiza actualmente, y no la idea de que la geometria es algo independiente al resto de las matematicas y entonces debe tener sus propios axiomas.