Re: Matemática
Acá huelo mucha Wikipedia y poco trabajo matemático.
Cuando Leandro dice: la lista de Axiomas tiene que ser "mínima", bue… todo el mundo dice eso.
Pero nadie es capaz de mostrar que una lista de Axiomas es justamente "mínima".
Si te tiran una lista de enunciados lógicos, ¿sos capaz de demostrar que "son no-redundantes"?
No conozco a nadie en el mundo capaz de demostrar que un sistema axiomático interesante, de los que se aceptan hoy en día, es "mínimo".
Tampoco es posible probar que ZFC y sus amigas están libres de contradicción.
Así que, según tu definición, ZFC no es un sistema axiomático, aunque en todos los libros figura con ese nombre.
Además, si alguna vez estudiás los axiomas de la geometría euclidiana, vas a ver que se pueden enunciar infinidad de sistemas axiomáticos distintos, y lo que en algunos sistemas figura como axioma, en otros es teorema, y al revés.
Así que, en definitiva, lo que se está haciendo es demostrar que un cierto "axioma" A implica una cierta conclusión B.
Pero luego B implica A, porque se trata de propiedades "intercambiables" que definen la misma teoría geométrica.
Además yo no estoy confundiendo nada. Como bien dije, es Russell el que impulsó este punto de vista de que los Axiomas son "hipótesis que se repiten en todos los teoremas de lat teoría"
Se puede hacer una teoría sin axioma alguno, y lo que alguien "quisiera" considerar como axiomas, simplemente se pueden repetir como hipótesis en todos los teoremas de la teoría, y lo que resulta es una teoría equivalente, es lo mismo.
Cuando hablaron de la "hipótesis" de Poincaré, no es una hipótesis, sino una Conjetura.
Decir que las hipótesis se pueden probar es algo ridículo. La hipótesis es un supuesto, y si ya lo supusiste, es cierto desde el punto de vista lógico. Las deducciones que hagas serán correctas.
Además, ¿cómo sabés vos la diferencia entre un enunciado lógico que es "susceptible de demostración" de uno que on lo es?
Admito que me "salteé" unos detalles. En vez de decir: los enunciados matemáticos son estos dos tipos…
debí decir: los enunciados matemáticos que se toman como ciertos son de dos tipos: axiomas y teoremas.
No hay manera de distinguir entre un Axioma y una hipótesis.
Durante siglos los geómetras creyeron que la "hipótesis" de las paralelas era demostrable.
Hasta que alguien demostró que "no era demostrable de los demás axiomas geométricos".
El carácter de Axioma es una "elección de cada investigador".
Cualquiera puede enunciar una lista de propiedades lógicas y decir que eso es un sistema axiomático.
Eso que decís de que los axiomas de "fundamentos" son distintos a otro tipo de supuestos de una teoría, es sólo un prejuicio sin sentido.
Decime vos, cuando se define una lógica de 1er orden, y cuando se empiezan a construir enunciados y teoremas, ¿en qué momento se define lo que es un axioma, una hipótesis, un supuesto, o una conjetura?
Esas son categorías subjetivas, que nada tienen que ver con la matemática misma.
Cuando te ponés a hacer a hacer la construcción de la matemática desde cero, mirando todas las cuentitas, ves que hay una lista infinita de enunciados posibles. fórmulas lógicas bien formadas.
De ellas, "se eligen algunas" y se las llama "axiomas".
Nadie es capaz de demostrar que son ¨"mínimos" ni "no-contradictorios"… (en realidad la lista de los axiomas lógicos de 1er orden se sabe que son no-contradictorios, lo que no se sabe es si al agreegar la lista de los axiomas de ZFC hay o no hay contradicción posible).
Hay teorías axiomáticas enunciadas en 1er orden, que no usan la teoría de conjuntos, y abarcan todo el abanico de posibilidades de la matemática: los números reales, la geometría, diversas álgebras.
Se pueden estudiar estos sistemas matemáticos sin apelar a la teoría de conjuntos.
Se listan axiomas aritméticos desde la "base", sin conjuntos, igual que se hace con ZFC.
Ahí va una muestra en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic
Ahí se habla de la aritmética de Presburger, que se enuncia "pelada" en 1er orden, sin conjuntos.
Una vez construida la "sintaxis" se puede buscar un "modelo" en la teoría ZFC, por ejemplo.
Me parece que hay muchos prejuicios sobre lo que está "permitido" ser un Axioma y lo que no.
Hay que actualizarse.