Re: Matemática

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#30466

saibaba
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Los Axiomas en la matemática son como "hipótesis", o sea "puntos de partida" de una teoría.

A partir de ciertos "supuestos iniciales" se deducen toda una serie de consecuencias (teoremas).

Los matemáticos ponen a prueba distintos axiomas similares o "equivalentes", poniendo y sacando unos y otros del mismo modo que un inventor pone y saca piezas hasta que le queda un artefacto "que funciona bien".

La matemática aplicada es una interpretación de la realidad a partir de ciertos axiomas.

Esto parece algo "astrológico", porque depende de una metáfora que es, filosóficamente, muy dudosa. Te paso un ejemplo.

Cuando alguien estudia la población de un par de especies en un ecosistema, pone un par de variables x, y, digamos, que indican la cantidad de individuos de cada especie.

Por la mera experiencia y conocimiento empírico del comportamiento animal, se hacen algunos supuestos básicos sobre la rapidez de crecimiento y decrecimiento de esas especies. Estos "supuestos" serían como "axiomas ecológicos".

Se escriben esos supuestos como ecuaciones (en este caso un sistema de ecuaciones diferenciales), en los que se pone en evidencia la dependencia respecto la variable tiempo t.

Ahora x = x(t), y = y(t) son cantidades que dependen del tiempo. Por lo tanto se hace una "predicción".

Se verifica si esa predicción corresponde más o menos bien con los datos de las muestras empíricas, y en caso contrario se reflexiona sobre nuevas hipótesis que conviene agregar como "axiomas".

Se pueden también modificar los axiomas originales.

Esto es parecido a lo que hacen los astrólogos, ya que modifican sus pronósticos "ad hoc".

La diferencia está en que estas hipótesis son parte de una investigación científica, en la que se actúa por prueba y error hasta lograr un ajuste.

Una vez establecido el sistema axiomático con mejor aproximación, o que ya satisface a los criterios empiristas del investigador, se dice que se ha establedico un "modelo matemático" para la situación de estudio, y se la puede usar con confianza en otras situaciones distintas.

Al aplicar el modelo a nuevas situaciones, seguramente se tendrán que hacer nuevos ajustes.

Pero el objetivo en todo esto no es tanto el de "predecir" lo que va a pasar en determinado momento (que de hecho, puede hacerse bastante bien una vez que el modelo está ajustado), sino obtener información cualitativa del sistema, y alcanzar una mayor comprensión de lo que está ocurriendo.

Es interesante descubrir cuáles son las hipótesis "centrales" que influyen en mayor proporción en un modelo determinado. A veces se descubre que sólo un par de supuestos básicos ya sirven para aproximar bien la situación, y no hace falta preocuparse por las millones de variables extra que hay en la naturaleza.

El modelo perfecto no existe justamente por todas estas variables.

Lo que es "sospechoso" es esta identificación entre una variable matemática x(t) con la "cantidad de individuos de una especie dada" en un ecosistema.

Esto es como una metáfora matemática, y es un arte.

En otros tiempos se podrían poner muchas objeciones filosóficas sobre esta forma de trabajo,

pero hoy en día es simplemente cosa de rutina.

En los libros de ecuaciones diferenciales para ingeniería se suele explicar esta manera de diseñar modelos de la realidad.

A partir de ahí uno entiende mejor cómo funciona el fechado de cadáveres o rocas antiguas, el crecimiento de las poblaciones o modelos migratorios, entre muchas otras opciones que ahora no recuerdo.