Re: Matemática

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#30471

Leandro Yampolsky
Participant

Sólo hay dos tipos de enunciados lógico-matemáticos: los que se admiten "sin demostración" alguna, y los que "se admiten sólo tras haber sido demostrados".

En realidad, sintacticamente tambien puede haber enunciados que no hayan sido demostrados y que no sean axiomas (e.g. las conjeturas) y semanticamente puede haber enunciados falsos (e.g. "pi es racional").

En los teoremas matemáticos se tienen también "hipótesis", que son hechos que se toman como "supuestos", sin demostración, a partir de los cuales se deriva una "tesis" o "conclusión".

Cuando se define un "modelo matemático" o se desarrolla una teoría matemática cualquiera, los puntos de partida iniciales (los que no llevan demostración) son "hipótesis" que van implícitas en los enunciados de todos los teoremas.

Yo creo que estas confundiendo lo que seria hablar de hipotesis en el contexto de la fundamentacion axiomatica (en el cual decir que los axiomas son hipotesis es solo una manera de verlo) y lo que serian hipotesis en el resto de las matematicas, como en el caso que mencionas. No es cierto que las hipotesis de un teorema sean proposciones que no se demuestran, ya que para la aplicacion del teorema se debe demostrar esas hipotesis (a diferencia de los axiomas que no se deberian poder demostrar).

Pero eso no quiere decir que uno no pueda poner más axiomas.

Lo único que se exige a una teoría matemática es que su lista de Axiomas sea no-contradictoria.

En la axiomatizacion no solo se busca que haya consistencia, sino tambien que no haya redundancia (axiomas equivalentes) y que se utilice lo minimo necesario, ya que son las herramientas de demostracion y no seria necesario incorporar un axioma que no se va a usar (como pasa en general con la hipotesis del continuo).

Los axiomas fuera de ZFC casi no se usan en el desarrollo general de las matematicas, a excepcion de casos muy tangentes. A lo que previamente se conocia como axiomas, como en la geometria euclidiana o la teoria de probabilidades, ahora son casos particulares de objetos mas generales que se pueden fundamentar nada mas que con ZFC (y el axioma de eleccion no siempre se usa y puede aparecer en versiones mas "debiles"). En tales casos, se demuestra que un determinado espacio vectorial es euclideo o se demuestra que un determinado espacio medible es un espacio de probabilidad. En eso se baso la fundamentacion axiomatica de las matematicas: en proponer lo minimo necesario para que todo lo que se habia desarrollado y estaba por desarrollarse tuviera el mismo origen reducido.

Desafortunadamente, a veces se emplea el termino "axiomas" para denominar a las propiedades que debe satisfacer un objeto para ser definido de alguna manera (espacio vectorial, espacio metrico, etc.). Son propiedades como cualquier otra que pueden ser demostradas. No hay que confundir eso con los axiomas en los que se sostienen las matematicas.