Re: Matemática

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#30469

saibaba
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Del "lado" matemático es todo lo mismo: Hipótesis = Axiomas = Postulados, etc.

Sólo hay dos tipos de enunciados lógico-matemáticos: los que se admiten "sin demostración" alguna, y los que "se admiten sólo tras haber sido demostrados".

Los que se toman sin demostración son puntos de partida de una teoría,

y los demás se obtienen por inferencia lógica a partir de aquellos puntos de partida, y reciben el nombre de Teoremas.

Hay otros nombres para decir lo mismo, pero la diferencia es de "presentación" no de "sustancia matemática", por decirlo así.

Teorema = Lema = Corolario = Afirmación = Proposición

Del "lado" de la aplicación de la matemática, como en el ejemplo de la biología, no existen los axiomas, sólo existen hipótesis, pero esas hipótesis no tienen el mismo significado que las hipótesis matemáticas.

Es una misma palabra usada en contextos técnicos distintos.

En el contexto biológico no se puede usar la palabra "axioma".

Cuando se pasa al modelo matemático, las hipótesis biológicas se traducen en "asunciones de partida" de una teoría matemática, y como tales, no llevan demostración, así que son "axiomas, postulados, hipótesis", o como quieras llamarles, es lo mismo.

El sentido de la palabra "hipótesis"  no es el mismo según el contexto en el que se lo mire.

En los teoremas matemáticos se tienen también "hipótesis", que son hechos que se toman como "supuestos", sin demostración, a partir de los cuales se deriva una "tesis" o "conclusión".

Cuando se define un "modelo matemático" o se desarrolla una teoría matemática cualquiera, los puntos de partida iniciales (los que no llevan demostración) son "hipótesis" que van implícitas en los enunciados de todos los teoremas.

Russell decía que los axiomas eran hipótesis que debían figurar en todos los teoremas de la teoría, o bien que es equivalente pensarlos así. Uno no repite las mismas hipótesis en cada enunciado, porque es pesado, inhumano, pero desde el punto de vista técnico la función de un Axioma es esa: ser una hipótesis presente en cada teorema de una teoría.

Esta visión del trabajo matemático proviene del Logicismo de Russell, como es natural.

Cuando Hilbert funda el Formalismo, lo que hace es intentar que "toda la matemática" se pueda "edificar" a partir de una pequeña, concisa y finita lista de Axiomas, que sean aceptables para la gran mayoría de la comunidad matemática de su época (año 1900 y posterior).

Esto quiere decir que Hilbert quería construir un lenguaje que fuera útil a todas las matemáticas que existían en su tiempo, y que ninguna filosofía de aquel entonces quedara excluída.

Luego la lógica y la teoría de conjuntos así fundada serviría de lenguaje a toda la matemática y las ciencias exactas.

Pero eso no quiere decir que uno no pueda poner más axiomas.

Lo único que se exige a una teoría matemática es que su lista de Axiomas sea no-contradictoria.

(El mensaje era muy largo y lo recorté, sorry)

Como yo lo veo, hay una identificación entre dos cosas separadas: la hipótesis biológica y su contraparte matemática. El acto de hacer esa identificación como si fueran parte de una misma cosa no debe olvidarse, son contextos distintos.

Y los modelos son sólo matemática, porque la analogía nunca es perfecta.